指数関数テイラー多項式の Galois 群に関する Coleman 論文の完全解説

1. 準備と設定
体 $K$ を $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ とし、その代数閉包を $\bar{K} = \bar{\mathbb{Q}}_p$ とする。 $\bar{K}$ 上の非アルキメデス的付値 (non-archimedean valuation) を $v$ と書き、 $K$ の元の付値は $\text{ord}_p$ と一致するように正規化されているとする。 多項式 $g(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \in K[x]$ ($a_k \neq 0, a_0 \neq 0$) の $\bar{K}$ における根を $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ とおく。すなわち、 $$g(x) = a_k \prod_{j=1}^k (x - \alpha_j)$$ と因数分解される。

根をその付値の大きさの降順に並べ替える。すなわち、 $$v(\alpha_1) \ge v(\alpha_2) \ge \dots \ge v(\alpha_k)$$ とする。相異なる付値の値を $\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_r$ とし、各 $\lambda_i$ を付値に持つ根の個数（重複度）を $d_i \ge 1$ とする。 これにより、根の列はグループ分けされる： $$v(\alpha_1) = \dots = v(\alpha_{d_1}) = \lambda_1$$ $$v(\alpha_{d_1+1}) = \dots = v(\alpha_{d_1+d_2}) = \lambda_2$$ $$\dots$$ 便宜上、 $x_0 = 0$ とし、各 $1 \le i \le r$ に対して $x_i = x_{i-1} + d_i$ と定める。全根数は $k$ であるため、 $x_r = k$ である。

2. 係数の付値の評価
多項式の係数 $a_{k-m}$ ($0 \le m \le k$) は、基本対称式 (elementary symmetric polynomial) を用いて次のように表される。 $$a_{k-m} = (-1)^m a_k \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \dots < j_m \le k} \alpha_{j_1} \alpha_{j_2} \dots \alpha_{j_m}$$ 非アルキメデス的付値の性質 $v(x + y) \ge \min(v(x), v(y))$ より、和全体の付値は各項の付値の最小値以上になるため、 $$v(a_{k-m}) \ge v(a_k) + \min_{1 \le j_1 < \dots < j_m \le k} v(\alpha_{j_1} \dots \alpha_{j_m})$$ が成り立つ。積の付値が最小となるのは、付値が最も小さい $m$ 個の根、すなわち $\alpha_{k-m+1}, \dots, \alpha_k$ を選んだときである。したがって、 $$v(a_{k-m}) \ge v(a_k) + \sum_{j=1}^m v(\alpha_{k-j+1})$$ が成り立つ。

特に、 $k-m = x_{r-i}$ （すなわち $m = k - x_{r-i}$）のように境界のインデックスの場合を考える（元の添え字の順序を考慮し、 $x_i$ を適切に当てはめる）。付値の小さい方から $k-x_{i}$ 個の根を選ぶ場合、選ばれる根は $\alpha_{x_{i}+1}, \dots, \alpha_k$ であり、これらは付値が $\lambda_{i+1}$ 以下のすべての根に他ならない。 この最小値を与える根の選び方は完全に一意的である。なぜなら、これ以外の選び方をすると、付値が $\lambda_{i+1}$ 以下の根の代わりに付値が $\lambda_i$ 以上である根を少なくとも一つ選ぶことになり、全体の付値の和が真に大きくなってしまうからである。 非アルキメデス的付値において、最小値を与える項が単独である場合、和の付値はその単独の最小値に完全に一致する（強三角不等式の等号成立条件）。ゆえに、 $$v(a_{x_i}) = v(a_k) + \sum_{j=x_i+1}^k v(\alpha_j)$$ が等式として厳密に成立する。

3. Newton多角形の頂点と傾きの決定
Newton多角形は、点 $P_m = (m, v(a_m))$ ($0 \le m \le k$) の下側凸包として定義される。 $P_{x_{i-1}}$ と $P_{x_i}$ を結ぶ線分の傾きを計算する。 $$v(a_{x_i}) - v(a_{x_{i-1}}) = \left( v(a_k) + \sum_{j=x_i+1}^k v(\alpha_j) \right) - \left( v(a_k) + \sum_{j=x_{i-1}+1}^k v(\alpha_j) \right)$$ $$= - \sum_{j=x_{i-1}+1}^{x_i} v(\alpha_j) = - d_i \lambda_i$$ $x_i - x_{i-1} = d_i$ であるから、この区間における傾きは $$\frac{- d_i \lambda_i}{d_i} = - \lambda_i$$ となる。設定より $\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_r$ であるため、傾きは $-\lambda_1 < -\lambda_2 < \dots < -\lambda_r$ と単調増加する。したがって、点 $P_{x_0}, P_{x_1}, \dots, P_{x_r}$ は下に凸な多角形の頂点をなす。

さらに、任意の $m$ ($x_{i-1} < m < x_i$) に対しても、不等式 $v(a_m) \ge v(a_k) + \sum_{j=m+1}^k v(\alpha_j)$ が成立し、この値は点 $P_{x_{i-1}}$ と $P_{x_i}$ を結ぶ直線上の $y$ 座標以上の値となる。したがって、Newton多角形の頂点は正確に $(x_i, v(a_{x_i}))$ であり、各線分の傾きは $-\lambda_i$ 、水平方向の長さは $x_i - x_{i-1} = d_i$ となる。

4. Galois群の作用と $\mathbb{Q}_p$ 上での因数分解
各 $i$ ($1 \le i \le r$) に対して、多項式 $g_i(x)$ を $$g_i(x) = \prod_{x_{i-1} < j \le x_i} (x - \alpha_j)$$ と定義する。この定義から $\deg(g_i) = x_i - x_{i-1} = d_i$ であり、すべての根は付値 $\lambda_i$ を持つ。 $\bar{\mathbb{Q}}_p$ における Galois群 $\text{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p / \mathbb{Q}_p)$ の任意の元 $\sigma$ は、一意に拡張された付値を保つ。すなわち $v(\sigma(\alpha)) = v(\alpha)$ が成り立つ。 したがって、 $\sigma$ は付値が等しい根の集合 $\{ \alpha_j \mid v(\alpha_j) = \lambda_i \}$ を自分自身へ並べ替える。 よって、 $g_i(x)$ の係数はこの Galois群のすべての元によって固定される。ガロア理論の基本定理により、 $g_i(x)$ の係数は基礎体 $\mathbb{Q}_p$ に属することがわかる。 以上により、 $g(x) = \text{const} \times g_1(x) g_2(x) \dots g_r(x)$ は $\mathbb{Q}_p$ 上の因数分解であり、各因子は定理の要求を満たす。□

$\Omega$ 上のガロア群の作用による軌道 (orbit) の一つを $\Omega_1 = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}$ ($m \le n$) とする。多項式 $g(x) = \prod_{i=1}^m (x - \alpha_i)$ を構成する。ガロア群の任意の元 $\sigma$ は $\Omega_1$ を $\Omega_1$ 自身に写すため、 $g(x)$ の係数はすべてガロア群の作用で不変である。ガロア理論の基本定理により、 $g(x) \in K[x]$ となる。 $g(x)$ は $K[x]$ において $P(x)$ を割り切る。 $P(x)$ は既約であるから、 $g(x) = P(x)$ でなければならず、したがって $m = n$ となり、作用は推移的である。□

$k! = \prod_{i=1}^k i$ であるから、 $\text{ord}_p(k!) = \sum_{j=1}^\infty \lfloor \frac{k}{p^j} \rfloor$ が成り立つ。 $k$ の $p$ 進展開を用いると、各 $j \ge 1$ について $$ \lfloor \frac{k}{p^j} \rfloor = c_m p^{m-j} + c_{m-1} p^{m-j-1} + \dots + c_j $$ となる。これをすべての $j \ge 1$ について足し合わせると、 $$ \sum_{j=1}^\infty \lfloor \frac{k}{p^j} \rfloor = \sum_{i=1}^m c_i (p^{i-1} + p^{i-2} + \dots + 1) = \sum_{i=1}^m c_i \frac{p^i - 1}{p-1} $$ $$ = \frac{1}{p-1} \left( \sum_{i=1}^m c_i p^i - \sum_{i=1}^m c_i \right) = \frac{k - s_p(k)}{p-1} $$ となり、公式が得られる。□

1. 準備と設定
体 $K$ を $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ とし、その代数閉包を $\bar{K} = \bar{\mathbb{Q}}_p$ とする。 $\bar{K}$ 上の非アルキメデス的付値 (non-archimedean valuation) を $v$ と書き、 $K$ の元の付値は $\text{ord}_p$ と一致するように正規化されているとする。 多項式 $g(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \in K[x]$ ($a_k \neq 0, a_0 \neq 0$) の $\bar{K}$ における根を $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k$ とおく。すなわち、 $$g(x) = a_k \prod_{j=1}^k (x - \alpha_j)$$ と因数分解される。

根をその付値の大きさの降順に並べ替える。すなわち、 $$v(\alpha_1) \ge v(\alpha_2) \ge \dots \ge v(\alpha_k)$$ とする。相異なる付値の値を $\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_r$ とし、各 $\lambda_i$ を付値に持つ根の個数（重複度）を $d_i \ge 1$ とする。 これにより、根の列はグループ分けされる： $$v(\alpha_1) = \dots = v(\alpha_{d_1}) = \lambda_1$$ $$v(\alpha_{d_1+1}) = \dots = v(\alpha_{d_1+d_2}) = \lambda_2$$ $$\dots$$ 便宜上、 $x_0 = 0$ とし、各 $1 \le i \le r$ に対して $x_i = x_{i-1} + d_i$ と定める。全根数は $k$ であるため、 $x_r = k$ である。

2. 係数の付値の評価
多項式の係数 $a_{k-m}$ ($0 \le m \le k$) は、基本対称式 (elementary symmetric polynomial) を用いて次のように表される。 $$a_{k-m} = (-1)^m a_k \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \dots < j_m \le k} \alpha_{j_1} \alpha_{j_2} \dots \alpha_{j_m}$$ 非アルキメデス的付値の性質 $v(x + y) \ge \min(v(x), v(y))$ より、和全体の付値は各項の付値の最小値以上になるため、 $$v(a_{k-m}) \ge v(a_k) + \min_{1 \le j_1 < \dots < j_m \le k} v(\alpha_{j_1} \dots \alpha_{j_m})$$ が成り立つ。積の付値が最小となるのは、付値が最も小さい $m$ 個の根、すなわち $\alpha_{k-m+1}, \dots, \alpha_k$ を選んだときである。したがって、 $$v(a_{k-m}) \ge v(a_k) + \sum_{j=1}^m v(\alpha_{k-j+1})$$ が成り立つ。

特に、 $k-m = x_{r-i}$ （すなわち $m = k - x_{r-i}$）のように境界のインデックスの場合を考える（元の添え字の順序を考慮し、 $x_i$ を適切に当てはめる）。付値の小さい方から $k-x_{i}$ 個の根を選ぶ場合、選ばれる根は $\alpha_{x_{i}+1}, \dots, \alpha_k$ であり、これらは付値が $\lambda_{i+1}$ 以下のすべての根に他ならない。 この最小値を与える根の選び方は完全に一意的である。なぜなら、これ以外の選び方をすると、付値が $\lambda_{i+1}$ 以下の根の代わりに付値が $\lambda_i$ 以上である根を少なくとも一つ選ぶことになり、全体の付値の和が真に大きくなってしまうからである。 非アルキメデス的付値において、最小値を与える項が単独である場合、和の付値はその単独の最小値に完全に一致する（強三角不等式の等号成立条件）。ゆえに、 $$v(a_{x_i}) = v(a_k) + \sum_{j=x_i+1}^k v(\alpha_j)$$ が等式として厳密に成立する。

3. Newton多角形の頂点と傾きの決定
Newton多角形は、点 $P_m = (m, v(a_m))$ ($0 \le m \le k$) の下側凸包として定義される。 $P_{x_{i-1}}$ と $P_{x_i}$ を結ぶ線分の傾きを計算する。 $$v(a_{x_i}) - v(a_{x_{i-1}}) = \left( v(a_k) + \sum_{j=x_i+1}^k v(\alpha_j) \right) - \left( v(a_k) + \sum_{j=x_{i-1}+1}^k v(\alpha_j) \right)$$ $$= - \sum_{j=x_{i-1}+1}^{x_i} v(\alpha_j) = - d_i \lambda_i$$ $x_i - x_{i-1} = d_i$ であるから、この区間における傾きは $$\frac{- d_i \lambda_i}{d_i} = - \lambda_i$$ となる。設定より $\lambda_1 > \lambda_2 > \dots > \lambda_r$ であるため、傾きは $-\lambda_1 < -\lambda_2 < \dots < -\lambda_r$ と単調増加する。したがって、点 $P_{x_0}, P_{x_1}, \dots, P_{x_r}$ は下に凸な多角形の頂点をなす。

さらに、任意の $m$ ($x_{i-1} < m < x_i$) に対しても、不等式 $v(a_m) \ge v(a_k) + \sum_{j=m+1}^k v(\alpha_j)$ が成立し、この値は点 $P_{x_{i-1}}$ と $P_{x_i}$ を結ぶ直線上の $y$ 座標以上の値となる。したがって、Newton多角形の頂点は正確に $(x_i, v(a_{x_i}))$ であり、各線分の傾きは $-\lambda_i$ 、水平方向の長さは $x_i - x_{i-1} = d_i$ となる。

4. Galois群の作用と $\mathbb{Q}_p$ 上での因数分解
各 $i$ ($1 \le i \le r$) に対して、多項式 $g_i(x)$ を $$g_i(x) = \prod_{x_{i-1} < j \le x_i} (x - \alpha_j)$$ と定義する。この定義から $\deg(g_i) = x_i - x_{i-1} = d_i$ であり、すべての根は付値 $\lambda_i$ を持つ。 $\bar{\mathbb{Q}}_p$ における Galois群 $\text{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p / \mathbb{Q}_p)$ の任意の元 $\sigma$ は、一意に拡張された付値を保つ。すなわち $v(\sigma(\alpha)) = v(\alpha)$ が成り立つ。 したがって、 $\sigma$ は付値が等しい根の集合 $\{ \alpha_j \mid v(\alpha_j) = \lambda_i \}$ を自分自身へ並べ替える。 よって、 $g_i(x)$ の係数はこの Galois群のすべての元によって固定される。ガロア理論の基本定理により、 $g_i(x)$ の係数は基礎体 $\mathbb{Q}_p$ に属することがわかる。 以上により、 $g(x) = \text{const} \times g_1(x) g_2(x) \dots g_r(x)$ は $\mathbb{Q}_p$ 上の因数分解であり、各因子は定理の要求を満たす。□

定理 2.6 (Theorem NP) より、傾き $\lambda_k = r_k / s_k$ を持つ線分に対応する因子 $g_k(x)$ は $\mathbb{Q}_p[x]$ に属し、そのすべての根 $\alpha$ は付値 $v(\alpha) = -r_k/s_k$ を持つ。 $g_k(x)$ の $\mathbb{Q}_p[x]$ における任意の既約因子を $h(x)$ とし、その次数を $d$ とする。

$\mathbb{Q}_p$ 上既約な多項式 $h(x)$ の根 $\alpha$ が生成する拡大体 $F = \mathbb{Q}_p(\alpha)$ を考える。 $F$ は $\mathbb{Q}_p$ の $d$ 次拡大体である。非アルキメデス的付値の理論において、有限次拡大体 $F$ の付値群 (value group) $v(F^\times)$ は $\mathbb{Q}_p$ の付値群 $\mathbb{Z}$ を含む離散部分群 $\frac{1}{e}\mathbb{Z}$ となる。ここで $e$ は拡大 $F/\mathbb{Q}_p$ の分岐指数 (ramification index) であり、基本関係式 $d = e \cdot f$ （$f$ は剰余体の拡大次数）を満たす。この関係式より、 $e$ は拡大次数 $d$ を割り切る。

いま、 $\alpha \in F$ であるから、 $v(\alpha) = -r_k/s_k \in v(F^\times) = \frac{1}{e}\mathbb{Z}$ である。したがって、ある整数 $m$ が存在して $-r_k/s_k = m/e$ 、すなわち $r_k e = -m s_k$ が成り立つ。 $\gcd(r_k, s_k) = 1$ であるから、 $s_k$ は $e$ を割り切らなければならない。 $e$ は $d$ を割り切るため、推移律により $s_k$ は $d$ を割り切る。すなわち、既約因子 $h(x)$ の次数 $d$ は $s_k$ の倍数である。□

$n$ の素因数分解を $n = \prod_p p^{n_p}$ とする（ $n_p$ は $n$ における素数 $p$ の最高冪指数、すなわち $p^{n_p} \mid\mid n$）。各素数 $p$ について、 $P_n(x)$ の $\mathbb{Q}_p$ 上での Newton 多角形を調べる。 Legendre の公式（補題 2.4）により、各係数 $a_k = \frac{n!}{k!}$ の $p$ 進付値は次のようになる： $$ \text{ord}_p(a_k) = \text{ord}_p(n!) - \text{ord}_p(k!) = \frac{n - s_p(n)}{p-1} - \frac{k - s_p(k)}{p-1} = \frac{n - k - (s_p(n) - s_p(k))}{p-1} $$ ここで、 $k = n - p^{n_p}$ という特定のインデックスを考える。 $n$ の $p$ 進展開において、 $p^{n_p}$ 未満の位数はすべて $0$ である（なぜなら $p^{n_p} \mid n$ だからである）。したがって、 $n$ から $p^{n_p}$ を引くという操作は、 $p$ 進展開における $p^{n_p}$ の位数の数字を $1$ 減らし、それ未満の位数を $0$ のまま保つ。ゆえに、 $s_p(n - p^{n_p}) = s_p(n) - 1$ が成り立つ。 よって、 $k = n - p^{n_p}$ のとき、 $$ \text{ord}_p(a_{n - p^{n_p}}) = \frac{p^{n_p} - (s_p(n) - (s_p(n) - 1))}{p-1} = \frac{p^{n_p} - 1}{p-1} $$ となる。一方、終点である $k = n$ では $\text{ord}_p(a_n) = \text{ord}_p(1) = 0$ である。 点 $(n - p^{n_p}, \text{ord}_p(a_{n - p^{n_p}}))$ と終点 $(n, 0)$ を結ぶ直線の傾き $\lambda$ を計算すると、 $$ \lambda = \frac{0 - \frac{p^{n_p} - 1}{p-1}}{n - (n - p^{n_p})} = - \frac{p^{n_p} - 1}{p^{n_p}(p-1)} $$ となる。 $p^{n_p} - 1 = (p-1)(p^{n_p-1} + p^{n_p-2} + \dots + 1)$ であるから、 $p-1$ で約分すると、傾きは $$ \lambda = - \frac{p^{n_p-1} + p^{n_p-2} + \dots + 1}{p^{n_p}} $$ となる。この分数の分子は $p$ で割り切れないため、分母 $p^{n_p}$ と互いに素である。したがって、この傾きを既約分数で表したときの分母はまさに $p^{n_p}$ である。 Coleman の論文の Newton 多角形の凸性議論によ限れば、この傾きを持つ線分が Newton 多角形の右端のセグメントとして現れる。系 2.7 (系 A) を適用すると、 $f_n(x)$ の $\mathbb{Q}_p$ 上の任意の因子の次数は、この既約分数の分母である $p^{n_p}$ の倍数でなければならない。 有理数体 $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}_p$ の部分体であるから、 $f_n(x)$ が $\mathbb{Q}$ 上で因子を持てば、その因子の次数もまた $p^{n_p}$ の倍数である。この議論は $n$ を割り切るすべての素数 $p$ について独立に成り立つ。各素数冪 $p^{n_p}$ たちは互いに素であるから、 $\mathbb{Q}$ 上の任意の因子の次数は、それらの積である $\prod_p p^{n_p} = n$ の倍数でなければならない。 多項式 $f_n(x)$ の全次数は $n$ である。次数が $n$ の倍数であるような自明でない因子（次数が $1$ 以上 $n-1$ 以下）は存在し得ない。したがって、 $f_n(x)$ は $\mathbb{Q}$ 上で既約である。□

$n \ge 8$ とし、 Bertrand の仮説に基づき $n/2 < p < n-2$ を満たす素数 $p$ を選ぶ。この素数 $p$ は特に $n/2 < p \le n$ を満たすため、 $n$ の $p$ 進展開は $n = p + r$ （ただし $0 \le r < p-2$）と書ける。 このとき、多項式 $P_n(x)$ の $\mathbb{Q}_p$ 上での Newton 多角形を考えると、最長で傾きの分母が $p$ となる線分が存在する。系 2.7 の拡張（論文中の系 B）により、 $\mathbb{Q}_p$ 上の最小分解体の拡大次数は $p$ で割り切れる。 $\mathbb{Q}_p$ 上の分解体は、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体 $L$ を $\mathbb{Q}_p$ 上に局所化した体に包摂されるため、拡大次数 $[\mathbb{Q}_p(\alpha_1, \dots, \alpha_n) : \mathbb{Q}_p]$ は $[L : \mathbb{Q}] = |G_n| $ を割り切る。したがって、ガロア群 $G_n$ の位数は素数 $p$ で割り切れる。 Cauchy の定理（定理 3.2）により、 $G_n$ は位数 $p$ の置換 $\sigma$ を含む。 $\sigma$ を対称群 $S_n$ の元として相異なる巡回置換の積に分解する。 $\sigma$ の位数が $p$ （素数）であることから、現れる巡回置換の長さはすべて $1$ または $p$ でなければならない。 いま、 $p > n/2$ であるから、長さ $p$ の巡回置換は高々1つしか存在し得ない（もし2つあれば文字数が $2p > n$ となり矛盾する）。したがって、 $\sigma$ はちょうど1つの長さ $p$ の巡回置換と、残りの $n-p$ 個の不動点（長さ 1 の巡回置換）から構成される。これは定義により、 $\sigma$ が $p$-巡回置換であることを意味する。 ステップ A より $G_n$ は推移的部分群であり、いま $n/2 < p < n-2$ を満たす素数 $p$ に対する $p$-巡回置換を含むことが示された。したがって、 Jordan の定理（定理 3.3）の前提条件が完全に満たされ、 $G_n \ge A_n$ が成立する。□

多項式 $P(x) = n! f_n(x) = \prod_{i=1}^n (x - \alpha_i)$ は最高次係数が $1$ のモニック多項式である。この判別式の定義および微分の性質から、以下が成り立つ： $$ D_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^n P'(\alpha_i) $$ ここで、元の多項式 $f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$ の微分を考えると、 $$ f_n'(x) = \sum_{k=1}^n \frac{k x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^n \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{x^j}{j!} = f_{n-1}(x) $$ という関係式を得る。また、 $f_n(x) = f_{n-1}(x) + \frac{x^n}{n!}$ である。 $P(x) = n! f_n(x)$ であるから、その微分は $P'(x) = n! f_n'(x) = n! f_{n-1}(x)$ である。 根 $\alpha_i$ は $P(\alpha_i) = 0$ すなわち $f_n(\alpha_i) = 0$ を満たすため、 $$ f_{n-1}(\alpha_i) + \frac{\alpha_i^n}{n!} = 0 \implies f_{n-1}(\alpha_i) = - \frac{\alpha_i^n}{n!} $$ が成り立つ。これを $P'(x)$ の式に代入すると、 $$ P'(\alpha_i) = n! \left( - \frac{\alpha_i^n}{n!} \right) = - \alpha_i^n $$ となる。したがって、積の部分は次のように計算される： $$ \prod_{i=1}^n P'(\alpha_i) = \prod_{i=1}^n (-\alpha_i^n) = (-1)^n \left( \prod_{i=1}^n \alpha_i \right)^n $$ 根と係数の関係により、モニック多項式 $P(x) = x^n + \dots + n!$ の定数項は $n!$ であるから、根の全積は $\prod_{i=1}^n \alpha_i = (-1)^n n!$ である。これを代入すると、 $$ \prod_{i=1}^n P'(\alpha_i) = (-1)^n ((-1)^n n!)^n = (-1)^{n + n^2} (n!)^n $$ ここで、任意の整数 $n$ について、 $n^2 + n = n(n+1)$ は連続する2整数の積であるから必ず偶数である。よって、 $(-1)^{n^2+n} = 1$ となる。これを判別式の全体の式に戻すと、 $$ D_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} (n!)^n $$ が導かれる。□

$D_n = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} (n!)^n$ の平方因子性を、 $n$ の剰余クラスおよび素数分布から判定する。

• ケース 1: $n \equiv 0 \pmod 4$ のとき
  $n = 4k$ ($k \in \mathbb{Z}_{\ge 1}$) とおける。このとき符号の指数は $\frac{4k(4k-1)}{2} = 2k(4k-1)$ となり、これは常に偶数である。したがって $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = 1$ である。また、 $(n!)^n = (n!)^{4k} = ((n!)^{2k})^2$ となり、これは整数の完全平方である。よって、 $D_n$ は有理数の平方数となる。
• ケース 2: $n \equiv 2 \pmod 4$ のとき
  $n = 4k+2$ ($k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$) とおける。このとき符号の指数は $\frac{(4k+2)(4k+1)}{2} = (2k+1)(4k+1)$ となる。奇数と奇数の積は奇数であるから、 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = -1$ である。 $(n!)^n$ は正の実数であるため、 $D_n$ は負の実数となる。負の有理数は $\mathbb{Q}$ において平方数になり得ない。
• ケース 3: $n$ が奇数のとき
  $n$ が奇数であるため、 $(n!)^n$ の指数 $n$ は奇数である。これが平方数になるためには、基数である $n!$ 自体が $\mathbb{Q}$ 内で平方数でなければならない。しかし、 $n > 1$ に対し、 Bertrand の仮説（定理 3.4）により、 $n/2 < p \le n$ を満たす素数 $p$ が必ず存在する。この素数 $p$ は $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ の因子としてちょうど1回だけ現れる（なぜなら $2p > n$ より、 $n!$ の中に $p$ の倍数は $p$ 自身しか存在しないからである）。素因数分解において次数が $1$ （奇数）である素因子が存在するため、 $n!$ は平方数にはなり得ない。その奇数乗である $(n!)^n$ も平方数にならない。したがって $D_n$ は平方数にならない。

以上より、 $D_n$ が有理数の平方数となるのは $n \equiv 0 \pmod 4$ のときに限られる。□